Question

（2012•崇明縣一模）如圖，已知橢圓C：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）過點P（

2

，

6

），上、下焦點分別為F₁、F₂，向量

PF1

⊥

PF2

．直線l與橢圓交于A，B兩點，線段AB中點為m（

1

2

，-

3

2

）．
（1）求橢圓C的方程；
（2）求直線l的方程；
（3）記橢圓在直線l下方的部分與線段AB所圍成的平面區域（含邊界）為D，若曲線x²-2mx+y²+4y+m²-4=0與區域D有公共點，試求m的最小值．

Answer 1

分析：（1）把點B代入橢圓的方程，利用向量垂直，及幾何量之間的關系，聯立方程求得a和b，則橢圓的方程可得；
（2）分類討論，利用線段AB中點坐標，結合韋達定理，可求直線的方程；
（3）把圓的方程整理成標準方程求得圓心和半徑，進而利用圖象可知只須考慮m＜0的情形．設出圓與直線的切點，利用點到直線的距離求得m，進而可求得過點G與直線l垂直的直線的方程，把兩直線方程聯立求得T，因為區域D內的點的橫坐標的最小值與最大值分別為-1，2，所以切點T∉D，由圖可知當⊙G過點B時，m取得最小值，利用兩點間的距離公式求得m的最小值．

解答：解：（1）∵橢圓C：

y2

a2

+

x2

b2

=1（a＞0，b＞0）過點P（

2

，

6

），∴

6

a2

+

2

b2

=1
∵向量

PF1

⊥

PF2

，∴4c²=2+（

6

-c）²+2+（

6

-c）²，∴c=2

2

又a²=b²+c²，∴a²=12，b²=4
∴橢圓方程為

y2

12

+

x2

4

=1
（2）①當斜率k不存在時，由于點M不是線段AB的中點，所以不符合要求；
②當斜率k存在時，設直線l方程為y+

3

2

=k（x-

1

2

），代入橢圓方程整理得
（3+k²）x²-（k²+3k）x+

1

4

k²-

39

4

=0
∵線段AB中點為m（

1

2

，-

3

2

），∴

1

2

=

k2+3k

2(3+k2)

∴k=1
∴直線l：x-y-2=0
（3）化簡曲線方程得：（x-m）²+（y+2）²=8，是以（m，-2）為圓心，2

2

為半徑的圓．
表示圓心在直線y=-2上，半徑為2

2

的動圓．
由于要求實數m的最小值，由圖可知，只須考慮m＜0的情形．
當圓與直線相切時，

|m+2-2|

2

=2

2

，此時為m=-4，圓心（-4，-2）．
當m=-4時，過點G（-4，-2）與直線l垂直的直線l'的方程為x+y+6=0，
解方程組

x+y+6=0 x-y-2=0

，得T（-2，-4）．
因為區域D內的點的橫坐標的最小值與最大值分別為-1，2，
所以切點T∉D，由圖可知當⊙G過點B時，m取得最小值，即（-1-m）²+（-3+2）²=8，解得m_min=-

7

-1．

點評：本題考查橢圓與直線的方程，考查直線與圓錐曲線的綜合問題，同時考查了知識的綜合運用和數形結合的方法的應用．