Question

（2012•綿陽一模）已知{a_n}是遞增數列，且對任意的n∈N^*都有a_n=n²+2

3

sinθ•n（θ∈[0，2π]）恒成立，則角θ的取值范圍是

[0，

4π

3

]∪[

5π

3

，2π]

．

Answer 1

分析：根據已知條件{a_n}是遞增數列，且對任意的n∈N^*都有a_n=n²+2

3

sinθ•n（θ∈[0，2π]）恒成立，可以推出a_n+1≥a_n，推出一個關于n，θ的不等式，轉化為不等式的恒成立問題，從而進行求解；

解答：解：∵{a_n}是遞增數列，且對任意的n∈N^*都有a_n=n²+2

3

sinθ•n（θ∈[0，2π]）恒成立，
∴a_n+1≥a_n，對任意的n∈N^*都成立，
∴（n+1）²+2

3

sinθ•（n+1）-n²-2

3

sinθ•n，
∴2n+1+2

3

sinθ≥0，轉化為2

3

sinθ≥-2n-1，恒成立，因為n≥1，n∈N^*，
∴-2n-1≥-3，
∴2

3

sinθ≥-3，解得sinθ≥-

3

2

，∵θ∈[0，2π]
解得0≤θ≤

4π

3

，或

5π

3

≤θ≤2π，
故答案為：[0，

4π

3

]∪[

5π

3

，2π]；

點評：本題考查的知識點是數列的函數特性，二次函數的性質，其中根據已知條件將問題轉化為一個不等式恒成立問題是解答本題的關鍵．