Question

已知函數f(x)=

4x-a

1+x2

在區間[m，n]上為增函數，且f（m）f（n）=-4．
（1）當a=3時，求m，n的值；
（2）當f（n）-f（m）最小時，
①求a的值；
②若P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）（a＜x₁＜x₂＜n）是f（x）圖象上的兩點，且存在實數x₀使得f′(x0)=

f(x2)-f(x1)

x2-x1

，證明：x₁＜x₀＜x₂．

Answer 1

分析：（1）已知函數f(x)=

4x-a

1+x2

在區間[m，n]上為增函數，先用導數求得當a=3時的所有單調區間，則有[m，n]為函數f（x）單調區間的子集．
（2）①由f(n)-f(m)=f(n)+[-f(m)]≥2

f(n)[-f(m)]

=4，當且僅當f（n）=-f（m）=2時等號成立求解．
②先分別表示出f′(x0)=

4(1- x 2 0 )

(1+ x 2 0 )2

和

f(x2)-f(x1)

x2-x1

=

4(1-x1x2)

(1+ x 2 1 )(1+ x 2 2 )

，再由f′(x0)=

f(x2)-f(x1)

x2-x1

，得到，

1- x 2 0

(1+ x 2 0 )2

=

1-x1x2

(1+ x 2 1 )(1+ x 2 2 )

，再用作差法比較

1- x 2 0

(1+ x 2 0 )2

與

1- x 2 1

(1+ x 2 1 )2

的大小．

解答：解：f′(x)=

4(1+x2)-2x(4x-a)

(1+x2)2

=

-2(2x2-ax-2)

(1+x2)2

．（2分）
（1）當a=3時，由f′(x)=

-2(2x2-3x-2)

(1+x2)2

=

-2(2x+1)(x-2)

(1+x2)2

=0，
得x=-

1

2

或x=2，
所以f（x）在[-

1

2

，2]上為增函數，在(-∞，-

1

2

)，（2，+∞）上為減函數，（4分）
由題意知-

1

2

≤m＜n≤2，且f(-

1

2

)≤f(m)＜0＜f(n)≤f(2)．
因為f(-

1

2

)=-4，f(2)=1，所以-4=f(m)f(n)≥f(-

1

2

)f(2)=-4，
可知m=-

1

2

，n=2．（7分）
（2）①因為f(n)-f(m)=f(n)+[-f(m)]≥2

f(n)[-f(m)]

=4，
當且僅當f（n）=-f（m）=2時等號成立．（8分）
由f(n)=

4n-a

1+n2

=2，有-a=2（n-1）²≥0，得a≤0；（9分）
由f(m)=

4m-a

1+m2

=-2，有a=2（m+1）²≥0，得a≥0；（10分）
故f（n）-f（m）取得最小值時，a=0，n=1．（11分）
②此時，f′(x0)=

4(1- x 2 0 )

(1+ x 2 0 )2

，

f(x2)-f(x1)

x2-x1

=

4(1-x1x2)

(1+ x 2 1 )(1+ x 2 2 )

，
由f′(x0)=

f(x2)-f(x1)

x2-x1

知，

1- x 2 0

(1+ x 2 0 )2

=

1-x1x2

(1+ x 2 1 )(1+ x 2 2 )

，（12分）
欲證x₁＜x₀＜x₂，先比較

1- x 2 0

(1+ x 2 0 )2

與

1- x 2 1

(1+ x 2 1 )2

的大小．

1- x 2 0

(1+ x 2 0 )2

-

1- x 2 1

(1+ x 2 1 )2

=

1-x1x2

(1+ x 2 1 )(1+ x 2 2 )

-

1- x 2 1

(1+ x 2 1 )2

=

(x1-x2)(2x1+x2- x 2 1 x2)

(1+ x 2 1 )2(1+ x 2 2 )

=

(x1-x2)[x1(2-x1x2)+x2]

(1+ x 2 1 )2(1+ x 2 2 )

因為0＜x₁＜x₂＜1，所以0＜x₁x₂＜1，有x₁（2-x₁x₂）+x₂＞0，
于是（x₁-x₂）[x₁（2-x₁x₂）+x₂]＜0，即

1- x 2 0

(1+ x 2 0 )2

-

1- x 2 1

(1+ x 2 1 )2

＜0，（13分）
另一方面，

1- x 2 0

(1+ x 2 0 )2

-

1- x 2 1

(1+ x 2 1 )2

=

( x 2 1 - x 2 0 )(3+ x 2 1 + x 2 0 - x 2 1 x 2 0 )

(1+ x 2 0 )2(1+ x 2 1 )2

，
因為0＜x₁²x₀²＜1，所以3+x₁²+x₀²-x₁²x₀²＞0，從而x₁²-x₀²＜0，即x₁＜|x₀|（14分）
同理可證x₀＜x₂，因此x₁＜|x₀|＜x₂．（15分）

點評：本題主要考查導數在研究單調性，求最值，比較大小中的應用．