Question

已知兩個不共線的向量

a

，

b

，它們的夾角為θ，且|

a

|=3，|

b

|=1，若

a

+

b

與

a

-4

b

垂直，則sin(θ+

π

6

)=

 

．

Answer 1

分析：根據

a

+

b

與

a

-4

b

垂直算出

a

•

b

=

5

3

，利用向量的夾角公式可得cosθ=

5

9

，結合θ∈（0，π）利用同角三角函數的關系算出sinθ=

56

9

，再由兩角和的正弦公式加以計算，可得sin(θ+

π

6

)的值．

解答：解：∵|

a

|=3，|

b

|=1，

a

+

b

與

a

-4

b

垂直，
∴（

a

+

b

）•（

a

-4

b

）=0，即

a

2-3

a

•

b

-4

b

2=0，
可得9-3

a

•

b

-4×1=0，解之得

a

•

b

=

5

3

．
∵

a

、

b

的夾角為θ，∴cosθ=

a • b

|a| • |b|

=

5

9

，
又∵θ∈（0，π），∴sinθ=

1-cos2θ

=

56

9

．
因此，sin(θ+

π

6

)=sinθcos

π

6

+cosθsin

π

6

=

56

9

×

3

2

+

5

9

×

1

2

=

2 42 +5

18

．
故答案為：

2 42 +5

18

．

點評：本題以兩角和的正弦公式為載體，著重考查了向量的數量積公式及其運算性質、兩個向量垂直的條件、向量的夾角公式與同角三角函數的基本關系等知識，屬于中檔題．