Question

【題目】正項數列：，滿足：是公差為的等差數列，是公比為2的等比數列.

（1）若，求數列的所有項的和；

（2）若，求的最大值；

（3）是否存在正整數，滿足?若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）84；（2）1033；（3）存在，

【解析】

（1）由題意可得：， 即為：2，4，6，8，10，12，14，16，8，4； 可得的值；

（2）由題意可得，故有；即，即必是2的整數冪，要最大，必需最大，，可得出的最大值；

（3）由是公差為的等差數列，是公比為2的等比數列，可得與，可得k與m的方程，一一驗算k的值可得答案.

解：（1）由已知，

故為：2，4，6，8，10，12，14，16；公比為2，則對應的數為2，4，8，16，

從而即為：2，4，6，8，10，12，14，16，8，4；

此時

（2）是首項為2，公差為2 的等差數列，

故，從而，

而首項為2，公比為2的等比數列且，

故有；即，即必是2的整數冪

又，要最大，必需最大，，故的最大值為，

所以，即的最大值為1033

（3）由數列是公差為的等差數列知，，而

是公比為2的等比數列，則，故，即，

又，，則

，即，則，即

顯然，則，所以，將，代入驗證知，

當時，上式右端為8，等式成立，此時，

綜上可得：當且僅當時，存在滿足等式