Question

某商場準備在國慶節期間舉行促銷活動，根據市場調查，該商場決定從2種服裝商品，2種家電商品，3種日用商品中，選出3種商品進行促銷活動．
（1）試求選出的3種商品中至少有一種是日用商品的概率；
（2）商場對選出的某商品采用的促銷方案是有獎銷售，即在該商品現價的基礎上將價格提高150元，同時，若顧客購買該商品，則允許有3次抽獎的機會，若中獎，則每次中獎都獲得數額為m的獎金．假設顧客每次抽獎時獲獎與否的概率都是

1

2

，請問：商場應將每次中獎獎金數額m最高定為多少元，才能使促銷方案對商場有利？

Answer 1

分析：（1）求互斥事件的概率一般有兩種方法，直接法和間接法，本小題用用間接法比較簡便．事件“至少有一種是日用商品”的對立事件是“商品中沒有日用商品”，用公式P(A)=1-P(

.

A

)，即運用逆向思維；
（2）欲求m的值，需要先求獎金總額的期望值，要使促銷方案對商場有利，應使顧客獲獎獎金總額的期望值不大于商場的提價數額即可．

解答：解：（1）從2種服裝商品，2種家電商品，3種日用商品中，選出3種商品一共有

C

3 7

種選法，選出的3種商品中沒有日用商品的選法有

C

3 4

種，所以選出的3種商品中至少有一種日用商品的概率為P=1-

C 3 4

C 3 7

=

31

35

．
（2）顧客在三次抽獎中所獲得的獎金總額是一隨機變量，
設為X，其所有可能值為0，m，2m，3m，
X=0時表示顧客在三次抽獎中都沒有獲獎，
所以P(X=0)=

C

0 3

(

1

2

)0•(

1

2

)3=

1

8

，
同理可得P(X=m)=

C

1 3

(

1

2

)1•(

1

2

)2=

3

8

，P(X=2m)=

C

2 3

(

1

2

)2•(

1

2

)1=

3

8

，P(X=3m)=

C

3 3

(

1

2

)3•(

1

2

)0=

1

8

．
于是顧客在三次抽獎中所獲得的獎金總額的期望值是E(X)=0×

1

8

+m×

3

8

+2m×

3

8

+3m×

1

8

=1.5m．
要使促銷方案對商場有利，應使顧客獲獎獎金總額的期望值不大于商場的提價數額，
因此應有1.5m≤150，
所以m≤100．

點評：本題考查古典概型以及運用互斥事件求概率的方法，同時考查期望的求法．