Question

（2011年高考全國(guó)卷理科）設(shè)向量

a

、

b

、

c

滿足|

a

|=|

b

|=1，

a

•

b

=-

1

2

，＜

a

-

c

，

b

-

c

＞=60⁰，則|

c

|的最大值等于（　　）

• A．2
• B．

  3

• C．

  2

• D．1

Answer 1

分析：構(gòu)造

AB

=

a

，

AD

=

b

，

AC

=

c

，∠BAD=120°，∠BCD=60°，可得A，B，C，D四點(diǎn)共圓，且圓的半徑等于1，
故當(dāng)線段AC為直徑時(shí)，|

c

|最大，最大值為圓的直徑．

解答：解：如圖，由于|

a

|=|

b

|=1，

a

•

b

=-

1

2

，＜

a

-

c

，

b

-

c

＞=60⁰，
構(gòu)造

AB

=

a

，

AD

=

b

，

AC

=

c

，∠BAD=120°，∠BCD=60°，
所以A，B，C，D四點(diǎn)共圓．
由于BD=|

a

-

b

|=

( a - b )2

=

a 2+ b 2-2 a • b

=

3

，
△BCD中，由正弦定理可得 2R=

BD

sin∠BCD

=

3

3 2

=2，
故四邊形外接圓的半徑等于1，
可知當(dāng)線段AC為直徑時(shí)，|

c

|最大，最大值為2．
故選A．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查兩個(gè)向量的數(shù)量積的運(yùn)算，正弦定理，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想和等價(jià)轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，
屬于中檔題．