Question

已知定義在R上的函數的圖象關于原點對稱，且x＝1時，f(x)取極小值．

(1)求f(x)的解析式；

(2)當x∈[－1，1]時，圖象上是否存在兩點，使得此兩點處的切線互相垂直？證明你的結論；

(3)(只理科做)若時，求證：．

Answer 1

答案：
解析：

(1)∵函數f(x)的圖象關于原點對稱，∴f(0)＝0，即4d＝0，∴d＝0．又f(－1)＝－f(1)，即－a－2b－c＝－a＋2b－c，∴b＝0∴，，∵x＝1時，f(x)取極小值，∴3a＋c＝0且 解得，．∴． (2)當x∈[－1，1]時，圖象上不存在這樣的兩點使得結論成立．假設圖象上存在兩點，使得過此兩點處的切線互相垂直，由f(x)知切線斜率都存在，則由知兩點處的切線斜率分別為． ，且．∵， ∴．∴，此與(*)矛盾，故假設不成立． (3)(只理科做)． 令，得x＝±1． ∴x∈(－∞，－1)或x∈(1，＋∞)時，．x∈(－1，1)時． ∴f(x)在[－1，1]上是減函數，且．． ∴在[－1，1]上．于是時， ．