Question

對于函數①，②，③，判斷如下兩個命題的真假：
命題甲：在區間上是增函數；
命題乙：在區間上恰有兩個零點，且.能使命題甲、乙均為真的函數的序號是

A．①

B．②

C．①③

D．①②

Answer 1

D

分析：①函數可用導數求出在（1，2）上是增函數，②函數是|log2^x|與-()^x的和函數，且兩者在區間（1，2）上均是增函數，知f(x)=|log₂x|-( )^x是增函數．③f（x）=0得cos（x+2）=cosx，在（0，+∞）上無數個零點．
解答：解：①f’（x）=4-，在區間（1，2）f’（x）＞0，f（x）在區間（1，2）上是增函數．使甲為真．f（x）的最小值是-1＜0當x=時取得．又f（1）=0，∴f（x）在區間（0，+∞）上恰有兩個零點x₁＜；x₂=1．   x₁x₂=x₁＜1，使乙為真．
②在區間（1，2），|log2^x|=log2^x，是增函數．-()^x也是增函數，兩者的和函數也是增函數．使甲為真．利用信息技術f（x）在區間（0，+∞）上恰有兩個零點x₁，x₂；0＜x₁＜
1＜x₂＜2．使乙為真．
③f（x）=0得cos（x+2）=cosx．x+2=2kπ±x．x=kπ-1，k∈Z，在區間（0，+∞）上有無數個零點．使乙為假．
故選D．
點評：要掌握好基本初等函數的單調性，以及函數零點個數的判定，用二分法求零點的近似值．