Question

在正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E，F分別是C₁D₁，C₁B₁的中點，G為CC₁上任一點，EC與底面ABCD所成角的正切值是4．
（Ⅰ）求證AG⊥EF；
（Ⅱ）確定點G的位置，使AG⊥面CEF，并說明理由；
（Ⅲ）求二面角F-CE-C₁的余弦值．

Answer 1

【答案】分析：本題考查的知識點是平面與平面間的位置關系．由ABCD-A₁B₁C₁D₁為正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁，故我們可以設底面邊長為2a，又由EC與底面ABCD所成角的正切值是4，我們易求出側棱長為4a，以A為原點，AB、AD、AA₁所在的直線分別為x軸，y軸，z軸，空間直角坐標系．給出正四棱柱中各頂點的坐標，使用向量法進行證明和求解：
（1）要證明AG⊥EF，我們僅需要證明⊥，即•=0即可．
（2）由（1）的結論，要使AG⊥面CEF，只需AG⊥CE，即證明=0即可；
（3）求二面角F-CE-C₁的余弦值，由是平面CEF的一個法向量，是平面CEC₁的一個法向量，我們只要求出向量與夾角余弦值的絕對值即可，解三角形ADG不難得到結論．
解答：解：∵ABCD-A₁B₁C₁D₁是正四棱柱
∴ABCD是正方形，設其邊長為2a，ÐECD是EC與底面所成的角．而∠ECD=∠CEC₁，
∴CC₁=4EC₁=4a．
以A為原點，AB、AD、AA₁所在的直線分別為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的直角坐標系．
則A（0，0，0），B（2a，0，0），C（2a，2a，0），D（0，2a，0），
A₁（0，0，4a），B₁（2a，0，4a），C₁（2a，2a，4a），D₁（0，2a，4a），
E（a，2a，4a），F（2a，a，4a），設G（2a，2a，b）（0＜b＜4a）
（Ⅰ）=（2a，2a，b），=（a，-a，0），=2a²-2a²+0=0，
∴AG⊥EF
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，使AG⊥面CEF，只需AG⊥CE，
只需=（2a，2a，b）×（-a，0，4a）=-2a²+4ab=0，
∴b=a，即CG=CC₁時，AG⊥面CEF．
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，當G（2a，2a，a）時，是平面CEF的一個法向量，
由題意可得，是平面CEC₁的一個法向量，
設二面角F-CE-C₁的大小為q，
則cosq===，
二面角F-CE-C₁的余弦值為．
點評：空間兩條直線夾角的余弦值等于他們方向向量夾角余弦值的絕對值；空間直線與平面夾角的余弦值等于直線的方向向量與平面的法向量夾角的正弦值，空間銳二面角的余弦值等于他的兩個半平面方向向量夾角余弦值的絕對值．