Question

（本小題滿分16分）

已知數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式為（nÎN^*）．

（1）求數(shù)列{a_n}的最大項(xiàng)；

（2）設(shè)，試確定實(shí)常數(shù)p，使得{b_n}為等比數(shù)列；

（3）設(shè)，問：數(shù)列{a_n}中是否存在三項(xiàng)，，，

使數(shù)列，，是等差數(shù)列？如果存在，求出這三項(xiàng)；如果不存在，說明理由．

Answer 1

（本小題滿分16分）

解：（1）由題意a_n = 2 + ,隨著n的增大而減小,所以{a_n}中的最大項(xiàng)為a₁ = 4．……………   4分

（2）b_n =  =  = ，

若{b_n}為等比數(shù)列，則b – b_nb_n+2= 0（nÎN^* ）

所以 [(2 + p)3ⁿ⁺¹ ＋(2 – p)]² – [(2 + p)3ⁿ ＋(2 – p)][(2 + p)3ⁿ⁺² ＋(2 – p)] = 0（nÎN^*），

化簡(jiǎn)得（4 – p²）(2·3ⁿ⁺¹ – 3ⁿ⁺² – 3ⁿ ）= 0即– (4 – p²）·3ⁿ·4 = 0, 解得p =±2．……………7分

反之,當(dāng)p = 2時(shí),b_n = 3ⁿ,{b_n}是等比數(shù)列;當(dāng)p = – 2時(shí),b_n = 1,{b_n}也是等比數(shù)列．

所以,當(dāng)且僅當(dāng)p = ±2時(shí){b_n}為等比數(shù)列． ………………………………………………10分

（3）因?yàn)?img width=97 height=41 src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/0688/238/90238.gif" >，，，

若存在三項(xiàng)，，，使數(shù)列，，是等差數(shù)列，則，

所以=，……………12分

化簡(jiǎn)得（*），

因?yàn)?img width=148 height=24 src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/0688/252/90252.gif" >，所以，，

所以，，

（*）的左邊，

右邊，所以（*）式不可能成立，

故數(shù)列{a_n}中不存在三項(xiàng)，，，使數(shù)列，，是等差數(shù)列． ………16分

附加題參考答案