Question

在底面為正方形的四棱錐V-ABCD中，側棱VA垂直于底面ABCD，且VA=AB，點M為VA的中點，則直線VC與平面MBC所成角的正弦值是（　　）

• A．

  3

  6

• B．．

  15

  5

• C．．

  2

  3

• D．．

  15

  15

Answer 1

分析：設VA=AB=2，以A為原點，AB為x軸，AD為y軸，AV為z軸，建立空間直角坐標系，則M（0，0，1），B（2，0，0），C（2，2，0），V（0，0，2），

MB

=(2，0，-1)，

MC

=(2，2，-1)，

CV

=(-2，-2，2)，設平面MBC的法向量

n

=(x，y，z)，由

n

•

MB

=0，

n

•

MC

=0，解得

n

=(1，0，2)，由此能求出直線VC與平面MBC所成角的正弦值．

解答：解：在底面為正方形的四棱錐V-ABCD中，
側棱VA垂直于底面ABCD，且VA=AB，點M為VA的中點，
設VA=AB=2，建立如圖所示的空間直角坐標系，
則M（0，0，1），B（2，0，0），C（2，2，0），V（0，0，2），
∴

MB

=(2，0，-1)，

MC

=(2，2，-1)，

CV

=(-2，-2，2)，
設平面MBC的法向量

n

=(x，y，z)，
由

n

•

MB

=0，

n

•

MC

=0，
得

2x-z=0 2x+2y-z=0

，解得

n

=(1，0，2)，
設線VC與平面MBC所成角為θ，
則sinθ=|cos＜

VC

，

n

＞|
=|

-2+0+4

12 • 5

|
=

15

15

．
故選D．

點評：本題考查直線與平面所成角的正弦值的求法，是基礎題．解題時要認真審題，仔細解答，注意向量法的合理運用．