Question

（2013•湛江二模）已知函數(shù)f(x)=2

3

sinxcosx+cos2x
（1）求f(

π

6

)的值；
（2）設(shè)x∈[0，

π

4

]，求函數(shù)f（x）的值域．

Answer 1

分析：（1）利用三角函數(shù)的恒等變換化簡(jiǎn)函數(shù)f（x）的解析式為 2sin（2x+

π

6

），從而求得f(

π

6

)的值．
（2）因?yàn)?span id="xrj5xnn" class="MathJye">0≤x≤

π

4

，再根據(jù)正弦函數(shù)的定義域和值域，求得函數(shù)f（x）的值域．

解答：解：（1）∵f(x)=2

3

sinxcosx+cos2x=

3

sin2x+cos2x=2sin(2x+

π

6

)
故 f(

π

6

)=2sin(

2π

6

+

π

6

)=2sin

π

2

=2．
（2）因?yàn)?span id="7dl75jv" class="MathJye">0≤x≤

π

4

，所以

π

6

≤2x+

π

6

≤

2π

3

，所以1≤2sin(2x+

π

6

)≤2，
即函數(shù)f（x）的值域?yàn)閇1，2]．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查三角函數(shù)的恒等變換，正弦函數(shù)的定義域和值域，屬于中檔題．