Question

已知M是△ABC內的一點（不含邊界），且

AB

•

AC

=2

3

，∠BAC=30°，若△MBC，△MCA和△MAB的面積分別為x，y，z．
（1）x+y+z=

 

；
（2）定義f（x，y，z）=

1

x

+

4

y

+

9

z

，則f（x，y，z）的最小值是

 

．

Answer 1

分析：（1）先根據向量數量積的定義求出AB•AC，從而求出△ABC的面積，而△MBC，△MCA和△MAB的面積和即為△ABC的面積，即可求出所求；
（2）先在等式f（x，y，z）=

1

x

+

4

y

+

9

z

兩邊同乘以x+y+z，然后利用均值不等式進行求解即可．

解答：解：（1）

AB

•

AC

=2

3

=AB•AC•cos30°
∴AB•AC=4，S△ABC=

1

2

AB•AC•sin30°=1=x+y+z
（2）∵1=x+y+z
∴f（x，y，z）=

1

x

+

4

y

+

9

z

=（

1

x

+

4

y

+

9

z

）（x+y+z）
=1+4+9+

y

x

+

4x

y

+

z

x

+

9x

z

+

4z

y

+

9y

z

≥14+4+6+12=36，
故答案為：1，36

點評：本題主要考查了向量的應用，以及三角形的面積公式，同時考查了均值不等式的應用，屬于基礎題．