Question

如圖，在幾何體ABCDE中，AB＝AD＝2，AB⊥AD，AE⊥平面ABD，M為線段BD的中點，MC∥AE，且AE＝MC＝.

(1)求證：平面BCD⊥平面CDE；
(2)若N為線段DE的中點，求證：平面AMN∥平面BEC.

Answer 1

（1）見解析（2）見解析

(1)證明：∵AB＝AD＝2，AB⊥AD，M為線段BD的中點，
∴AM＝BD＝，AM⊥BD，
∵AE＝MC＝，
∴AE＝MC＝BD＝，
∴BC⊥CD，BD⊥CM.
∵AE⊥平面ABD，MC∥AE，∴MC⊥平面ABD，
∴MC⊥AM，∴AM⊥平面CBD.
又MC∥AE，AE＝MC＝，
∴四邊形AMCE為平行四邊形，∴EC∥AM，
∴EC⊥平面CBD，∴BC⊥EC，
∵EC∩CD＝C，
∴BC⊥平面CDE.
∵BC?平面BCD，∴平面BCD⊥平面CDE.
(2)∵M為BD的中點，N為DE的中點，
∴MN∥BE.
由(1)知EC∥AM且AM∩MN＝M，
又BE∩EC＝E，
∴平面AMN∥平面BEC.