Question

(12分)如圖所示，以AB＝4 cm，BC＝3 cm的長方形ABCD為底面的長方體被平面斜著截斷的幾何體，EFGH是它的截面．當AE＝5 cm，BF＝8 cm，CG＝12 cm時，試回答下列問題：

(1)求DH的長；
(2)求這個幾何體的體積；
(3)截面四邊形EFGH是什么圖形？證明你的結論．

Answer 1

解：(1)過E作EB₁⊥BF，垂足為B₁，則BB₁＝AE＝5(cm)，
所以B₁F＝8－5＝3(cm)．
因為平面ABFE∥平面DCGH，EF和HG是它們分別與截面的交線，所以EF∥HG.

過H作HC₁⊥CG，垂足為C₁，
則GC₁＝FB₁＝3(cm)，
DH＝12－3＝9(cm)．   -----------------------------------    4分
(2)作ED₁⊥DH，垂足為D₁，B₁P⊥CG，垂足為P，連結D₁P，B₁C₁，則幾何體被分割成一個長方體ABCD－EB₁PD₁，一個斜三棱柱EFB₁－HGC₁，一個直三棱柱EHD₁－B₁C₁P.從而幾何體的體積為
V＝3×4×5＋×3×4×3＋×3×4×4＝102(cm³)．--------------8分
(3)是菱形．
證明：由(1)知EF∥HG，同理EH∥FG.于是EFGH是平行四邊形．
因為EF＝＝
＝5(cm)，
DD₁＝AE＝5(cm)，ED₁＝AD＝3(cm)，
HD₁＝4(cm)，
所以EH＝＝
＝5(cm)．
所以EF＝EH.
故EFGH是菱形．  ------------------------------------------12分

略