Question

【題目】已知函數.

（Ⅰ）當時，求的最小值.

（Ⅱ）若在區間上有兩個極值點，

（i）求實數的取值范圍；

（ii）求證：.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）（i）；（ii）詳見解析.

【解析】

（Ⅰ）求出，列表討論的單調性，問題得解。

（Ⅱ）（i）由在區間上有兩個極值點轉化成有兩個零點，即有兩個零點，求出，討論的單調性，問題得解。

（ii）由得，將轉化成，由得單調性可得，討論在的單調性即可得證。

解：（Ⅰ）當時，，，令，得.

的單調性如下表：

	-	0	+
	單調遞減		單調遞增

易知.

（Ⅱ）（i）.令，則.

令，得.

的單調性如下表：

	-	0	+
	單調遞減		單調遞增

在區間上有兩個極值點，即在區間上有兩個零點，

結合的單調性可知，且，即且.

所以，即的取值范圍是.

（ii）由（i）知，所以.

又，，，結合的單調性可知，.

令，則.當時，，，，

所以在上單調遞增，而，，

因此.