Question

【題目】《山東省高考改革試點(diǎn)方案》規(guī)定：從年高考開始，高考物理、化學(xué)等六門選考科目的考生原始成績從高到低劃分為八個(gè)等級(jí).參照正態(tài)分布原則，確定各等級(jí)人數(shù)所占比例分別為.選考科目成績計(jì)入考生總成績時(shí)，將至等級(jí)內(nèi)的考生原始成績，依照等比例轉(zhuǎn)換法則分別轉(zhuǎn)換到八個(gè)分?jǐn)?shù)區(qū)間，得到考生的等級(jí)成績.

某校級(jí)學(xué)生共人，以期末考試成績?yōu)樵�始成績轉(zhuǎn)換了本校的等級(jí)成績，為學(xué)生合理選科提供依據(jù)，其中物理成績獲得等級(jí)的學(xué)生原始成績統(tǒng)計(jì)如下

成績	93	91	90	88	87	86	85	84	83	82
人數(shù)	1	1	4	2	4	3	3	3	2	7

（1）從物理成績獲得等級(jí)的學(xué)生中任取名，求恰好有名同學(xué)的等級(jí)分?jǐn)?shù)不小于的概率;

（2）待到本級(jí)學(xué)生高考結(jié)束后，從全省考生中不放回的隨機(jī)抽取學(xué)生，直到抽到名同學(xué)的物理高考成績等級(jí)為或結(jié)束(最多抽取人)，設(shè)抽取的學(xué)生個(gè)數(shù)為，求隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望(注: ).

Answer 1

【答案】(1)0.29 (2)見解析

【解析】

（1）設(shè)物理成績獲得等級(jí)的學(xué)生原始成績?yōu)?/span>，其等級(jí)成績?yōu)?/span>，由原始成績與等級(jí)成績的轉(zhuǎn)換公式得到關(guān)于 的關(guān)系式，即可計(jì)算出等級(jí)分?jǐn)?shù)不小于的人數(shù)，利用古典概型即可計(jì)算出恰好有名同學(xué)的等級(jí)分?jǐn)?shù)不小于的概率。

（2）由題意得，隨機(jī)抽取人，等級(jí)成績?yōu)?/span>或的概率為，然后列出學(xué)生個(gè)數(shù)的分布列，即可計(jì)算數(shù)學(xué)期望。

解：（1）設(shè)物理成績獲得等級(jí)的學(xué)生原始成績?yōu)?/span>，其等級(jí)成績?yōu)?/span>.

由轉(zhuǎn)換公式，得.

由，得.

顯然原始成績滿足的同學(xué)有人，獲得等級(jí)的學(xué)生有人，

恰好有名同學(xué)的等級(jí)分?jǐn)?shù)不小于的概率為：.

（2）由題意得，隨機(jī)抽取人，其等級(jí)成績?yōu)?/span>或的概率為.

學(xué)生個(gè)數(shù)的可能取值為；

，，

，；

其數(shù)學(xué)期望是：

其中：

①

②

應(yīng)用錯(cuò)位相減法“①式-②式”得：

故.