Question

在平面直角坐標系xOy中，拋物線y=x²上異于坐標原點O的兩不同動點A、B滿足AO⊥BO（如圖所示）．則△AOB得重心G（即三角形三條中線的交點）的軌跡方程為

 

；

Answer 1

分析：設出AB的方程，A，B的坐標，進而把直線與拋物線方程聯立消去y，根據韋達定理求得x₁+x₂和x₁x₂的表達式，進而利用拋物線方程求得y₁y₂=的表達式，進而根據AO⊥BO推斷出x₁x₂+y₁y₂=0，求得b，設△AOB的重心為G（x，y），則x和y的表達式可得，聯立后消去k則x和y的關系式可得．

解答：解：顯然直線AB的斜率存在，記為k，AB的方程記為：y=kx+b，（b≠0），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），將直線方程代入y=x²得：x²-kx-b=0，則有：
△=k²+4b＞0①，x₁+x₂=k②，x₁x₂=-b③，又y₁=x₁²，y₂=x₂²
∴y₁y₂=b²；
∵AO⊥BO，∴x₁x₂+y₁y₂=0，
得：-b+b²=0且b≠0，
∴b=1，代入①驗證，滿足；
故y₁+y₂=k（x₁+x₂）+2=k²+2；
設△AOB的重心為G（x，y），
則x=

x1+x2

3

=

k

3

④，y=

y1+y2

3

=

k2+2

3

⑤，
由④⑤兩式消去參數k得：G的軌跡方程為y=3x2+

2

3

．
故答案為：y=3x2+

2

3

．

點評：本題主要考查了拋物線的簡單性質．上述求軌跡的方法稱為“參數法”，一般先設法將動點坐標用“參數”表示，再消參數．