Question

為普及高中生安全逃生知識與安全防護能力，某學校高一年級舉辦了高中生安全知識與安全逃生能力競賽．該競賽分為預賽和決賽兩個階段，預賽為筆試，決賽為技能比賽．先將所有參賽選手參加筆試的成績（得分均為整數，滿分為100分）進行統計，制成如下頻率分布表．

分數（分數段）	頻數（人數）	頻率
[60，70）	9	x
[70，80）	y	0.38
[80，90）	16	0.32
[90，100）	z	s
合   計	p	1

（Ⅰ）求出上表中的x，y，z，s，p的值；
（Ⅱ）按規定，預賽成績不低于90分的選手參加決賽，參加決賽的選手按照抽簽方式決定出場順序．已知高一•二班有甲、乙兩名同學取得決賽資格．
①求決賽出場的順序中，甲不在第一位、乙不在最后一位的概率；
②記高一•二班在決賽中進入前三名的人數為X，求X的分布列和數學期望．

Answer 1

分析：（I）根據樣本容量，頻率和頻數之間的關系得到要求的幾個數據，注意[80，90）小組數據得出樣本容量，從而進一步得出表中的x，y，z，s，p的值．
（II）①設“甲不在第一位、乙不在第六位”為事件A，根據相互獨立事件的概率公式得到結果．
②隨機變量X的可能取值為0，1，2，結合變量對應的概率，寫出分布列和期望．

解答：解：（Ⅰ）由題意知，由[80，90）上的數據，
根據樣本容量，頻率和頻數之間的關系得到n=

16

0.32

=50，
∴x=

9

50

=0.18，
y=19，z=6，s=0.12，p=50--------------（3分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，參加決賽的選手共6人，--------------（4分）
①設“甲不在第一位、乙不在第六位”為事件A，
則P(A)=

A 5 5 + A 1 4 A 1 4 A 4 4

A 6 6

=

7

10

所以甲不在第一位、乙不在第六位的概率為

7

10

．--------------（6分）
②隨機變量X的可能取值為0，1，2--------------（7分）
P(X=0)=

A 2 3 A 4 4

A 6 6

=

1

5

，
P(X=1)=

C 1 2 A 1 3 A 1 3 A 4 4

A 6 6

=

3

5

，
P(X=2)=

A 2 3 A 4 4

A 6 6

=

1

5

，--------------（10分）
隨機變量X的分布列為：

X	0	1	2
P	1 5	3 5	1 5

--------------（11分）
因為 EX=0×

1

5

+1×

3

5

+2×

1

5

=1，
所以隨機變量X的數學期望為1．--------------（12分）

點評：本小題考查頻率、頻數和樣本容量之間的關系，考查離散型隨機變量的隨機變量的分布列及數學期望，是一個綜合題．