Question

給定區間D，對于函數f（x）與g（x）及任意x₁，x₂∈D（其中x1＞

x

2

），若不等式f（x₁）-f（x₂）＞g（x₁）-g（x₂）恒成立，則稱函數f（x）相對于函數g（x）在區間D上是“漸先函數”．已知函數f（x）=ax²+ax相對于函數g（x）=2x-3在區間[a，a+2]上是漸先函數，則實數a的取值范圍是

a≤

-5- 41

4

或a≥

-1+ 17

2

．

Answer 1

分析：法一：由題意可得，(ax12+ax1)-(ax22+ax2)＞（2x₁-3）-（2x₂-3）在[a，a+2]上恒成立（a≠0），結合x₁＞x₂，分類討論a的正負，可得當a＞0時，a（2a+1）＜a（x₁+x₂+1）＜a（2a+5），當a＜0時，2a²+5a≥2，分別求解不等式即可求解
法二：由已知及導數的定義可知

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＞

g(x1)-g(x2)

x1-x2

在[a，a+2]上恒成立，即f‘（x）＞g’（x），分別對已知函數求導，即可求解

解答：解：法一：由題意可得，(ax12+ax1)-(ax22+ax2)＞（2x₁-3）-（2x₂-3）在[a，a+2]上恒成立（a≠0）
整理可得，a（x₁-x₂）（x₁+x₂）+a（x₁-x₂）＞2（x₁-x₂）
∵x₁＞x₂
∴x₁-x₂＞0
∴a（x₁+x₂+1）＞2在[a，a+2]恒成立
∴2a＜x₁+x₂＜2（a+2）
當a＞0時，a（2a+1）＜a（x₁+x₂+1）＜a（2a+5）
∴2a²+a≥2，解可得a≥

17 -1

4

當a＜0時，2a2+a＞a(x1+x2+1)＞2a2+5a
∴2a²+5a≥2
解可得，a≤

-5- 41

4

綜上可得，a≤

-5- 41

4

或a≥

17 -1

4

故答案為：a≤

-5- 41

4

或a≥

17 -1

4

法二：由題意可得f（x₁）-f（x₂）＞g（x₁）-g（x₂）在[a，a+2]上恒成立，且a≠0
∵x₁＞x₂
∴

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＞

g(x1)-g(x2)

x1-x2

在[a，a+2]上恒成立
∴f‘（x）＞g’（x）
∴2ax+a＞2在[a，a+2]上恒成立
即a（2x+1）＞2在[a，a+2]上恒成立
①當a＞0時，可得2a²+a≥2，解可得a≥

17 -1

4

當a＜0時，2a²+5a≥2
解可得，a≤

-5- 41

4

綜上可得，a≤

-5- 41

4

或a≥

17 -1

4

故答案為：a≤

-5- 41

4

或a≥

17 -1

4

點評：本題以新定義為載體，主要考查了函數的恒成立問題的求解，本題思路靈活，解法巧妙，注意體會掌握