Question

如圖，正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁，則下列四個命題：
①P在直線BC₁上運動時，三棱錐A-D₁PC的體積不變；
②P在直線BC₁上運動時，直線AP與平面ACD₁所成角的大小不變；
③P在直線BC₁上運動時，二面角P-AD₁C的大小不變；
④M是平面A₁B₁C₁D₁上到點D和C₁距離相等的點，則M點的軌跡是過D₁點的直線
其中真命題的個數是

 

．

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應用

專題：空間位置關系與距離

分析：①，易知BC₁∥平面AD₁，BC₁上任意一點到平面AD₁C的距離相等，三棱錐A-D₁PC的體積不變，可判斷①；
②，當P在直線BC₁上運動時，直線AB與平面ACD₁所成角和直線AC₁與平面ACD₁所成角不相等，可判斷②．
③，當P在直線BC₁上運動時，易知AP的軌跡是平面PAD₁，可判斷③．
④，平面A₁B₁C₁D₁上的直線D₁A₁，符合題意，可判斷④．

解答： 解：①∵BC₁∥AD₁，BC₁?平面AD₁C，AD₁?平面AD₁C，
∴BC₁∥平面AD₁C，BC₁上任意一點到平面AD₁C的距離相等，
∴VA-D1PC=VP-D1AC=VB-D1AC，為定值，即點P在直線BC₁上運動時，三棱錐A-D₁PC的體積不變，故①正確；
②P在直線BC₁上運動時，直線AB與平面ACD₁所成角和直線AC₁與平面ACD₁所成角不相等，故②不正確．
③當P在直線BC₁上運動時，AP的軌跡是平面ABC₁，即平面PAD₁，即二面角P-AD₁-C的大小不受影響，故③正確．
④∵M是平面A₁B₁C₁D₁上到點D和C₁距離相等的點，而DD₁=C₁D₁，
∴M點的軌跡是直線D₁A₁，故④正確．
綜上所述，真命題為①③④，共3個，
故答案為：3．

點評：本題考查空間正方體中線面角、二面角的概念及應用，著重考查空間想象能力與推理運算能力，屬于中檔題．