Question

(1)已知，求函數y=x(1－3x)的最大值．

(2)求函數的值域．

Answer 1

答案：略
解析：

(1)解法1：∵，∴1－3x＞0． ∴，當且僅當3x=1－3x，即時，等號成立．∴當時，函數取最大值． 解法2：∵，∴． ∴，當且僅當 ，即時，等號成立． ∴時，函數取最大值． (2)解：當x＞0時，由基本不等式，得，當且僅當x=1時，等號成立；當x＜0時，． ∵－x＞0，∴，當且僅當，即x=－1時，等號成立． ∴． 綜上可知：函數的值域為(－∞，－2]∪[2，＋∞)．

提示：

(1)本小題也可以將解析式展開，使用二次函數配方法求解，若使用基本不等式求積的最大值，關鍵是構造某個和為定值，為使用基本不等式創造條件，同時要注意等號成立的條件是否具備． (2)在利用基本不等式求最值(或值域)時，要注意“一正二定三相等”是否同時具備，否則所求結果可能出錯． 第(1)題，求函數的最大值，由極值定理可知，需構造某個和為定值，可考慮把括號內外x的系數變成互為相反數即可；第(2)題中，未指出x＞0，因而不能直接使用基本不等式，需分x＞0與x＜0討論．