Question

已知向量

m

=(cosα-

2

3

，-1)，

n

=(sinα，1)

m

∥

n

且α∈(-

π

2

，0)
（1）求sinα-cosα的值．
（2）求

1+sin2α+cos2α

1+tanα

的值．

Answer 1

分析：（1）根據向量平行的性質求得sinα和cosα的關系式，平方后利用同角三角函數的基本關系和二倍角公式求得sin2α，進而利用配方法求得（sinα-cosα）²的值，根據α的范圍確定sinα-cosα的正負，答案可得．
（2）利用二倍角公式和同角三角函數的基本關系對原式化簡整理求得結果為1+cos2α，根據sinα+cosα和sinα-cosα的值，利用二倍角公式求得cos2α的值，代入原式求得答案．

解答：解：（1）∵

m

=(cosα-

2

3

，-1)，

n

=(sinα，1)且

m

∥

n

∴cosα-

2

3

+sinα=0
即sinα+cosα=

2

3

?sin2α=-

7

9

?(sinα-cosα)2=1-sin2α=

16

9

又∵α∈（-

π

2

，0），∴sinα＜0，cosα＞0
∴sinα+cosα=

2

3

，sinα-cosα=-

4

3

（2）∵

1+sin2α+cos2α

1+tanα

=

2cos2α+2sinαcosα

1+ sinα cosα

=

2cosα(cosα+sinα)

1 cosα (cosα+sinα)

=2cos²α=1+cos2α
又∵sinα+cosα=

2

3

，sinα-cosα=-

4

3

∴cos2α=-(sin2α-cos2α)=-(sinα-cosα)(sinα+cosα)=

4 2

9

∴原式=1+

4 2

9

點評：本題主要考查了三角函數的化簡求值，兩角和公式和二倍角公式的化簡求值，同角三角函數的基本關系的應用．解題過程中一定要注意根據角的范圍對三角函數的正負進行判定．