Question

（本小題滿分14分）
如圖，設(shè)點(diǎn)、分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，為橢圓上任意一點(diǎn)，且最小值為．

（1）求橢圓的方程；
（2）若動(dòng)直線均與橢圓相切，且，試探究在軸上是否存在定點(diǎn)，點(diǎn)到的距離之積恒為1？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

（1）（2）存在定點(diǎn)為或滿足要求

試題分析：（1）設(shè)，則有，         ……1分
                   ……2分
由最小值為得，                    ……3分
∴橢圓的方程為．                                         ……4分
（2）①當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)其方程為            ……5分
把的方程代入橢圓方程得
∵直線與橢圓相切，∴，
化簡(jiǎn)得                                                     ……7分
同理，                                                     ……8分
∴，若，則重合，不合題意，∴                  ……9分
設(shè)在軸上存在點(diǎn)，點(diǎn)到直線的距離之積為1，
則，即，                         ……10分
把代入并去絕對(duì)值整理，
或者
前式顯然不恒成立；而要使得后式對(duì)任意的恒成立
則，解得；                                             ……12分
②當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，其方程為和，                ……13分
定點(diǎn)到直線的距離之積為；
定點(diǎn)到直線的距離之積為；
綜上所述，滿足題意的定點(diǎn)為或                           ……14分
點(diǎn)評(píng)：每年高考都會(huì)考查圓錐曲線問(wèn)題，此類題目一般運(yùn)算量較大，主要考查學(xué)生的運(yùn)算求解能力和分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力.