Question

(本題滿分13分)
已知直線與橢圓相交于A、B兩點(diǎn)．
（Ⅰ）若橢圓的離心率為，焦距為2，求線段AB的長(zhǎng)；
（Ⅱ）若向量與向量互相垂直（其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)），當(dāng)橢圓的離心率 時(shí)，求橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)的最大值．

Answer 1

解：（Ⅰ）橢圓的方程為 ，

 ；
（II）長(zhǎng)軸長(zhǎng)的最大值為．

本試題主要是考查了橢圓的方程的求解，以及直線與橢圓的位置關(guān)系的綜合運(yùn)用。
（1）根據(jù)題意的幾何性質(zhì)，得到系數(shù)a,b,c的關(guān)系式，進(jìn)而得到橢圓的方程的求解。
（2）設(shè)出直線方程，與橢圓方程聯(lián)立，得到關(guān)于x的一元二次方程，然后分析向量的數(shù)量積為零表示垂直，以及結(jié)合橢圓的離心率的范圍得到所求。
解：（Ⅰ）   
∴橢圓的方程為                            ……………………… 2分
聯(lián)立


                                 …………………… 6分
（II）

 整理得 

整理得：
代入上式得
 

由此得,故長(zhǎng)軸長(zhǎng)的最大值為．……… 13分