Question

如果關于x的方程ax+

1

x2

=3在區間（0，+∞）上有且僅有一個解，那么實數a的取值范圍為______．

Answer 1

由函數解析式可得：x≠0，如果關于x的方程 ax+

1

x2

=3有且僅有一個正實數解，
即方程ax³-3x²+1=0有且僅有一個正實數解，
即方程a=-

1

x3

+

3

x

有且僅有一個正實數解
討論函數y=-

1

x3

+

3

x

的單調性，得（0，1）上函數為增函數，（1，+∞）上函數為減函數且函數值大于0
作出函數y=-

1

x3

+

3

x

的圖象與直線y=a，如圖所示

根據圖象可得：當a≤0或a=2時在（0，+∞）上有且僅有一個交點．
故答案為：a≤0或a=2