Question

已知函數f（x）=2ax³-3x²，其中a＞0．
（Ⅰ）求證：函數f（x）在區間（-∞，0）上是增函數；
（Ⅱ）若函數g（x）=f（x）+f^′（x）（x∈[0，1]）在x=0處取得最大值，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求導函數，確定f′（x）＞0，即可證得函數f（x）在區間（-∞，0）上是增函數；
（Ⅱ）g（x）=2ax³+（6a-3）x²-6x，（x∈[0，1]），求導函數，令g′（x）=0，確定在區間[0，1]上，g（x）在x=0或x=1處取得最大值，根據g（x）在x=0處取得最大值，即可確定求a的取值范圍．

解答：（Ⅰ）證明：求導函數f′（x）=6x（ax-1）．
因為a＞0且x＜0，所以f′（x）＞0．
所以函數f（x）在區間（-∞，0）上是增函數．                  …（6分）
（Ⅱ）解：由題意，g（x）=2ax³+（6a-3）x²-6x，（x∈[0，1]），則g′（x）=6[ax²+（2a-1）x-1]．…（8分）
令g′（x）=0，即ax²+（2a-1）x-1=0．①
由于△=4a²+1＞0，可設方程①的兩個根為x₁，x₂，
由①得x₁x₂=-

1

a

，
由于a＞0，所以x₁x₂＜0，不妨設x₁＜0＜x₂，g′（x）=6a（x-x₁）（x-x₂）．
當0＜x₂＜1時，g（x₂）為極小值，
所以在區間[0，1]上，g（x）在x=0或x=1處取得最大值；
當x₂≥1時，由于g（x）在區間[0，1]上是單調遞減函數，所以最大值為g（0），
綜上，函數g（x）只能在x=0或x=1處取得最大值．      …（10分）
又已知g（x）在x=0處取得最大值，所以g（0）≥g（1），
即0≥8a-9，解得a≤

9

8

，
又因為a＞0，所以a∈（0，

9

8

]．                                      …（13分）

點評：本題考查導數知識的運用，考查函數的單調性與最值，解題的關鍵是正確求導，確定函數的單調性與最值．