Question

（本小題滿分12分）已知函數f(x)＝x³－ax²－3x.
(1)若f(x)在x∈[1，＋∞)上是增函數，求實數a的取值范圍；
(2)若x＝3是f(x)的極值點，求f(x)在x∈[1，a]上的最小值和最大值．

Answer 1

(1) a≤0(2) f(x)_max＝－6，f(x)_min＝－18.

試題分析：(1)對f(x)求導，得f′(x)＝3x²－2ax－3.………………1分
由f′(x)>0(x≥1)，得a< (x－)．………………2分
記t(x)＝ (x－)，
當x≥1時，t(x)是增函數，∴t(x)_min＝ (1－1)＝0.………………3分
∴a<0，又∵a＝0時也符合題意，故a≤0.………………4分
(2)由題意，得f′(3)＝0，即27－6a－3＝0，∴a＝4，………………6分
∴f(x)＝x³－4x²－3x，f′(x)＝3x²－8x－3.
令f′(x)＝0，得x₁＝－，x₂＝3.………………8分
當x變化時，f′(x)、f(x)的變化情況如下表：

x	(－∞，－)	－	(－，3)	3	(3，＋∞)
f′(x)	＋	0	－	0	＋
f(x)	?	極大值	?	極小值	?

 
∴當x∈(－∞，－]與[3，＋∞)時，f(x)是增函數；當x∈[－，3]時，f(x)是減函數．
于是，當x∈[1,4]時，有極小值f(3)＝－18；………………10分
而f(1)＝－6，f(4)＝－12，
∴f(x)_max＝f(1)＝－6，f(x)_min＝－18.………………12分
點評：解(1)過程中將不等式恒成立問題轉化為求函數最值問題