Question

19、如圖已知VC是△ABC所在平面的一條斜線，點N是V在平面ABC上的射影，且在△ABC的高CD上．AB=a，VC與AB之間的距離為h，點M∈VC．
（1）證明∠MDC是二面角M-AB-C的平面角；
（2）當∠MDC=∠CVN時，證明VC⊥平面AMB．

Answer 1

分析：（1）直接利用二面角平面角的定義進行證明∠MDC為二面角M-AB-C的平面角；
（2）欲證VC⊥平面AMB，根據直線與平面垂直的判定定理可知只需證VC與平面AMB內兩相交直線垂直，易證DM⊥VC，AB⊥VC，問題得證．

解答：（1）證明：如圖由已知，

CD⊥AB，VN⊥平面ABC，N∈CD，AB?平面ABC，
∴VN⊥AB．
∴AB⊥平面VNC．
又V、M、N、D都在VNC所在的平面內，
所以，DM與VN必相交，且AB⊥DM，AB⊥CD，
∴∠MDC為二面角M-AB-C的平面角．
（2）證明：由已知，∠MDC=∠CVN，
在△VNC與△DMC中，
∠NCV=∠MCD，
又∵∠VNC=90°，
∴∠DMC=∠VNC=90°，
故有DM⊥VC，又AB⊥VC，
∴VC⊥平面AMB．

點評：本小題主要考查線面關系的基本概念，考查運用直線與直線、直線與平面的基本性質進行計算和證明的能力．