Question

四棱錐P-ABCD中，側面PDC是邊長為2的正三角形，且與底面垂直，底面ABCD是菱形且∠ADC=60°．
（1）求證：PA⊥CD；
（2）求二面角P-AB-D的大小．

Answer 1

【答案】分析：（1）作PO⊥CD于O，連接OA，由側面PDC與底面ABCD垂直，則PO⊥面ABCD．所以PO⊥OA且PO⊥OC，又由∠ADC=60°，DO=1，AD=2，知OA⊥CD，分別以OA，OC，OP所在直線為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系，利用向量法能夠證明PA⊥CD．
（2）分別求出平面ABP的法向量和平面ABD的法向量，利用向量法能夠求出二面角P-AB-D的大小．
解答：解：（1）作PO⊥CD于O，連接OA
由側面PDC與底面ABCD垂直，則PO⊥面ABCD
所以PO⊥OA且PO⊥OC，又由∠ADC=60°，DO=1，AD=2，
則∠DOA=90°，即OA⊥CD
分別以OA，OC，OP所在直線為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系，
由已知P（0，0，），A（，0，0），D（0，-1，0），C（0，1，0），
∴=（，0，-），=（0，-2，0），
∴=0，∴，
∴PA⊥CD．
（2）∵P（0，0，），A（，0，0），B（，2，0），D（0，-1，0），
∴=（，0，-），=（），
，=（）
設平面ABP的法向量為，則，，
∴，解得=（1，0，1）．
設平面ABD的法向量為，則，，
∴，解得=（0，0，1），
設二面角P-AB-D的平面角為θ，
則cosθ=|cos＜＞|=||=，
∴θ=45°，
故二面角P-AB-D的大小為45°．
點評：本題考查異面直線垂直的證明，考查二面角的大小的求法．解題時要認真審題，仔細解答，注意向量法的合理運用．