Question

數列{a_n}，{b_n}滿足：

an+1=kan+n bn=an- 2 3 n+ 4 9

，(k∈R)．
（1）當a₁=1時，求證：{a_n}不是等差數列；
（2）當k=-

1

2

時，試求數列{b_n}是等比數列時，實數a₁滿足的條件；
（3）當k=-

1

2

時，是否存在實數a₁，使得對任意正整數n，都有

1

3

≤Sn≤

2

3

成立（其中S_n是數列{b_n}的前n項和），若存在，求出a₁的取值范圍；若不存在，試說明理由．

Answer 1

分析：（1）要證明：{a_n}不是等差數列，我們只要舉出并不是所有項與前一項的積都為定值即可，我們可以根據已知條件，分別求出a₁，a₂，a₃，再進行判斷，易得結論．
（2）當k=-

1

2

時，我們由

an+1=kan+n bn=an- 2 3 n+ 4 9

，(k∈R)．可以數列{b_n}的通項公式，再由數列{b_n}是等比數列時，各項值及公比均不為零，不難得到實數a₁滿足的條件
（3）當k=-

1

2

時，我們由（2）的結論，對實數a₁進行分類討論，即分為：數列{b_n}不是等比數列和數列{b_n}是等比數列兩種情況，最后將每類情況得到的結論進行匯總，即可得到答案．

解答：證明：（1）a₁=1，a₂=k+1，a₃=k²+k+2，
又k²+k+2+1-（2k+2）=k²-k+1，而k²-k+1=0無實數解，
則2a₂≠a₁+a₃，從而{a_n}不是等差數列．
（2）當k=-

1

2

時，an+1=-

1

2

an+n，b1=a1-

2

9

，
因為bn+1=an+1-

2

3

(n+1)+

4

9

=-

1

2

bn，故bn+1=(-

1

2

)n-1(a1-

2

9

)，
從而當a1≠

2

9

時，數列{b_n}為等比數列；
（3）當k=-

1

2

，a1=

2

9

時，S_n=0，不滿足題設，故a1≠

2

9

，數列{b_n}為等比數列．
其首項為b1=a1-

2

9

，公比為-

1

2

，于是Sn=

2

3

(a1-

2

9

)[1-(-

1

2

)n]．
若

1

3

≤Sn≤

2

3

，則

1

2[1-(- 1 2 )n]

+

2

9

≤a1≤

1

1-(- 1 2 )n

+

2

9

對任意正整數n恒成立，
而1-(-

1

2

)n得最大值為

3

2

，最小值為

3

4

，因此

8

9

≤a1≤

8

9

，即a1=

8

9

時，成立．

點評：要判斷一個數列是否為等差（比）數列，我們常用如下幾種辦法：①定義法；②等差（比）中項法；③通項公式法；④前n項和公式法．但要判斷一個數列不為等差（比）數列，只要舉出一個反例即可．