Question

【題目】已知函數，，.

（1）若函數存在零點，求的取值范圍；

（2）已知函數，若在區間上既有最大值又有最小值，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）或；（2）.

【解析】

（1）先由求得，，由基本不等式求出的值域，根據題意，只需在的值域范圍內即可；

（2）先由題意，得到要使在區間上有最大值，則必須在上取得最大值，列出不等式，求出，判斷出，從而得到要使在區間上存在最小值，必須有，進一步求得，令，此時 ，根據，得出，判斷出函數單調性，從而可得出結果.

（1）令，即，解得：，，

又，當時，，

當且僅當，即時，等號成立；

當時，；

當且僅當，即時，等號成立；

所以；

要使函數存在零點，只需或

即或

（2）由（1）知：函數在區間有最小值，無最大值；

而二次函數在對稱軸處取得最大值；

因此要使在區間上有最大值，則必須在上取得最大值，

因此，即，解得；

當時，，

所以要使在區間上存在最小值，必須有，

即，解得；

當時，，，

令，有，此時；

又由得，，

在上存在，使，

在上遞增，上遞減，上遞增；

在上單調遞減，；

在區間有最大值，最小值；

即當時，在區間上既有最大值又有最小值.