Question

【題目】對于三次函數，給出定義：設是函數的導數，是的導數，若方程有實數解，則稱點為函數的“拐點”.經過探究發現：任何一個三次函數都有“拐點”；任何一個三次函數都有對稱中心，且“拐點”就是對稱中心.設函數.

（1）當時，求的值；

（2）若不等式恒成立，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）將代入，結合定義可求得對稱中心，進而可知.結合所求式子特征即可求解.

（2）將代入不等式，結合定義域可分離參數，構造函數，求得并令，求得極值點，即可由導函數符號判斷函數的單調性，進而求得，即可確定的取值范圍.

（1）函數，

當時，

因為，

∴，

令，解得，

則對稱中心的縱坐標為，故對稱中心為，

所以，

所以，，…

則.

（2）∵，，

即，

又，

∴在上恒成立.

令.

∴.

∵，

令，得或（舍去）.

當時，，函數在上單調遞減；

當時，，函數在上單調遞增.

∴.

∴，

即的取值范圍為.