Question

【題目】以 A 為圓心， 以為半徑的圓外有一點(diǎn) B ， 已知 =2sinθ.設(shè)過點(diǎn)B且與⊙A 外切于點(diǎn)T的圓的圓心為 M.

（1）當(dāng) θ取某個(gè)值時(shí)， 說明點(diǎn) M 的軌跡P 是什么曲線；

（2）點(diǎn)M 是軌跡 P上的動(dòng)點(diǎn)， 點(diǎn)N 是 ⊙A上的動(dòng)點(diǎn)， 把的最小值記為（不要求證明）， 求的取值范圍；

（3）若將題設(shè)條件中的θ的范圍改為，點(diǎn) B 的位置改為⊙A內(nèi) ， 其它條件不變，點(diǎn) M的軌跡記為 P .試提出一個(gè)和（2）具有相同結(jié)構(gòu)的有意義的問題（不要求解答）.

Answer 1

【答案】(1) 點(diǎn) M 的軌跡是以A、B 為焦點(diǎn)， 實(shí)軸長為2cos θ的雙曲線的 靠近焦點(diǎn)B 的一支.(2) (3)見解析

【解析】

（1）如圖，連 MT 、MA 、MB ， 顯然 M 、T 、A 三點(diǎn)共線， 且.

又，故，其中

故點(diǎn) M 的軌跡是以A、B 為焦點(diǎn)， 實(shí)軸長為2cos θ的雙曲線的 靠近焦點(diǎn)B 的一支.

（2）顯然， 的最小值即為如圖 所示的 （N 和 T 重合）.

.

故.

由，知，由此得.

（3）設(shè)點(diǎn) M是軌跡P上的動(dòng)點(diǎn)， 點(diǎn)N是⊙A上的動(dòng)點(diǎn)， 把 的最大值記為.求的取值范圍.