Question

（2012•寶雞模擬）已知向量

OP

=(x，y)，

OQ

=(y，2)，曲線C上的點滿足：

OP

•

OQ

=2x．點M（x_k，x_k+1）在曲線C上，且x_k≠0，x₁=1，數列{a_n}滿足：ak=

1

xk

，(k，n∈N+)．
（1）求數列{a_n}通項公式；
（2）若數列{b_n}滿足b_n=7-2a_n，求數列{|b_n|}的前n項和T_n．

Answer 1

分析：（1）由數量積可得可得xy+2y=2x，把點M（x_k，x_k+1）代入曲線C，且x_k≠0，可得xk+1=

2xk

xk+2

，取倒數

1

xk+1

=

1

xk

+

1

2

，即ak+1=ak+

1

2

，a₁=1．
因此數列{a_n}是等差數列，即可得出其通項公式；
（2）分n≤6和n＞6時分別利用等差數列的前n項和公式即可得出．

解答：解：（1）由題意可得xy+2y=2x，∴曲線C的方程為y=

2x

x+2

（x≠-2）．
∵點M（x_k，x_k+1）在曲線C上，且x_k≠0，∴xk+1=

2xk

xk+2

，
∴

1

xk+1

=

1

xk

+

1

2

，
∴ak+1=ak+

1

2

，a₁=1．
∴數列{a_n}是等差數列，
∴an=1+(n-1)×

1

2

=

n+1

2

．
（2）b_n=7-2a_n=6-n．
當n≤6時，Tn=

n(5+6-n)

2

=

n(11-n)

2

；
當n＞6時，Tn=15+

1

2

(n-6)(1+n-6)=

1

2

(n2-11n+60)．
∴Tn=

n(11-n) 2 ，n≤6 n2-11n+60 2 ，n＞6

．

點評：熟練掌握等差數列的通項公式及其前n項和公式、數量積運算等是解題的關鍵．