Question

（08年天津卷文）（本小題滿分12分）

在數列中，，，且（）．

（Ⅰ）設（），證明是等比數列；

（Ⅱ）求數列的通項公式；

（Ⅲ）若是與的等差中項，求的值，并證明：對任意的，是與的等差中項．

Answer 1

本小題主要考查等差數列、等比數列的概念、等比數列的通項公式及前項和公式，考查運算能力和推理論證能力及分類討論的思想方法．滿分12分．

（Ⅰ）證明：由題設（），得

，即，．

又，，所以是首項為1，公比為的等比數列．

（Ⅱ）解法：由（Ⅰ）

　　　　　　　　，

　　　　　　　　，

　　　　　　　　……

　　　　　　　　，（）．

將以上各式相加，得（）．

所以當時，

上式對顯然成立．

（Ⅲ）解：由（Ⅱ），當時，顯然不是與的等差中項，故．

由可得，由得，　①

整理得，解得或（舍去）．于是．

另一方面，，

　　　　　．

由①可得，．

所以對任意的，是與的等差中項．