Question

已知正項數列{a_n}中,a₁=1,且log₃a_n,log₃a_n+1是方程x²(2n1)x+b_n=0的兩個實根.
（1）求a₂,b₁;
（2）求數列{a_n}的通項公式;
（3）若,是前項和, ,當時,試比較與的大小.

Answer 1

（1），；（2）；（Ⅲ）當時,,當時, ．

試題分析：（1）是方程的兩個實根，有根與系數關系可得，，，求，的值，可利用對數的運算性質，及已知，只需令即可求出，的值；（2）求數列的通項公式，由得，，所以，即，得數列的奇數項和偶數項分別是公比為9的等比數列，分別寫出奇數項和偶數項的通項公式，從而可得數列的通項公式；（Ⅲ）若,是前項和, ,當時,試比較與的大小，此題關鍵是求數列的通項公式，由（1）可知，可得，當時, =0,=0,得，當時,有基本不等式可得，從而可得0+=，即可得結論．
試題解析：（1）,
當時,,,
,
（2）,,
的奇數項和偶數項分別是公比為9的等比數列.
,,

（3）
當時, =0,=0,.
當時,
0+=
綜上,當時,,當時, .
或
猜測時,用數學歸納法證明
①當時,已證
②假設時,成立
當時,
即時命題成立
根據①②得當時,
綜上,當時,,當時,