Question

設函數f（x）=（x-a）²，g（x）=x，x∈R，a為實常數．
（1）若a＞0，設F(x)=

f(x)

g(x)

，x≠0，用函數單調性的定義證明：函數F（x）在區間[a，+∞）上是增函數；
（2）設關于x的方程f（x）=|g（x）|在R上恰好有三個不相等的實數解，求a的值所組成的集合．

Answer 1

分析：（1）用定義法證明先取任意的x₁＜x₂＜0，代入解析式作差，判斷差的符號，然后由定義得出結論．
（2）原方程為（x-a）²=|x|，先對a進行分類討論，然后利用根與系數的關系及已知條件結合圖象即可求出結果．

解答：解：（1）F(x)=

x2-2ax+a2

x

=x+

a2

x

-2a，任取x₁，x₂∈[a，+∞），且x₁＜x₂，
則F(x2)-F(x1)=x2-x1+a2(

1

x2

-

1

x1

)=(x2-x1)•

x1x2-a2

x1x2

，…（3分）
因為 a＞0，x₁≥a，x₂≥a且x₁＜x₂，∴x₂-x₁＞0，x₁x₂＞a²，…（4分）
所以F（x₂）-F（x₁）＞0，所以函數F（x）在區間[a，+∞）上是增函數．…（6分）
（2）原方程為（x-a）²=|x|，
①當a=0時，原方程變為x²=|x|，有-1，0，1三個解；…（8分）
②當a＜0時，函數y=（x-a）²與y=|x|的圖象在x＜0時有兩個交點，所以原方程在x＜0時有兩個不相等的實數解，要使原方程在x＞0時恰有一個解，當且僅當函數y=（x-a）²與y=|x|的圖象在x＞0時有且僅有一個公共點，即方程（x-a）²=x的判別式等于0，即（2a+1）²-4a²=0，解得a=-

1

4

；…（10分）
③同理，當a＞0時，原方程在x＞0時有兩個不相等的實數解，要原方程在x＜0時恰有一個解，當且僅當方程（x-a）²=-x的判別式等于0，即（2a-1）²-4a²=0，
解得a=

1

4

．…（12分）
綜上，a的值所組成的集合為{-

1

4

，0，

1

4

}．…（14分）

點評：本題考查的知識點是函數的單調性的判斷與證明，利用定義法（作差法）證明單調性的步驟是：設元→作差→分解→斷號→結論．此題比較難，綜合考查了一元二次方程的根的定義，判別式，根與系數的關系等知識，同時也考查了分類討論的數學思想，對于學生分析問題解決問題的能力要求比較高，所以平時要加強訓練．