Question

求函數y=

2x+4

-

x+3

的值域．

Answer 1

分析：一般可以通過圖象觀察或利用不等式性質來求解，也可以利用函數的單調性求出值域．本題形式結構復雜，可采用求導的方法求解．

解答：解：函數的定義域由

2x+4≥0 x+3≥0

求得x≥-2．
求導得y′=

1

2x+4

-

1

2 x+3

=

2 x+3 - 2x+4

2 2x+4 • x+3

．
令y′＞0得2

x+3

＞

2x+4

，
即

2x+4＞0 x+3＞0 4(x+3)＞2x+4

解得x＞-2，
即函數y=

2x+4

-

x+3

在（-2，+∞）上是增函數．
又此函數在x=-2處連續，∴在[-2，+∞）上是增函數，而f（-2）=-1．
∴函數y=

2x+4

-

x+3

的值域是[-1，+∞）．

點評：函數y=f（x）在（a，b）上為單調函數，當在[a，b]上連續時，y=f（x）在[a，b]上也是單調函數．