Question

設函數f(x)＝ax－(1＋a2)x2，其中a>0，區間I＝{x|f(x)>0}．

(1)求I的長度(注：區間(α，β)的長度定義為β－α)；

(2)給定常數k∈(0，1)，當1－k≤a≤1＋k時，求I的長度的最小值．

 

Answer 1

（1）（2）

【解析】(1)令f(x)＝x[a－(1＋a2)x]＝0，

解得x1＝0，x2＝，∴I＝，∴I的長度為x2－x1＝.

(2)k∈(0，1)，則0<1－k≤a≤1＋k<2.

由(1)知I的長度為，設g(a)＝，令g′(a)＝>0，則0<a<1.

故g(a)關于a在[1－k，1)上單調遞增，在(1，1＋k]上單調遞減．

g(1－k)＝＝，g(1＋k)＝，

故g(a)min＝，即I的長度的最小值為