Question

【題目】已知函數，其中

（Ⅰ）討論的單調性；

（Ⅱ）若對成立，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1) 當時，的單調減區間為，沒有增區間；當時，的單調增區間為，單調減區間為.

（2）.

【解析】分析：（Ⅰ）求函數的單調性，應先求函數的定義域。函數的定義域為。。求函數的單調區間，令，則。因為定義域為，所以。解此不等式和的正負有關。

故分和 兩種情況討論。當時，因為，進而可得在上是減函數；當時，由，可得，進而得。所以當時，，時，，進而可得在上是減函數，在上是增函數。

（Ⅱ）由對成立可得對成立，分離變量可得時，恒成立。構造函數，只需即可，所以求導可得函數的單調性，進而求其最大值，可得實數的取值范圍.

詳解：（Ⅰ）定義域為，，

當時，，在上是減函數，

當時，由得，

當時，，時，，

∴在上是減函數，在上是增函數，

綜上，當時，的單調減區間為，沒有增區間.

當時，的單調增區間為，單調減區間為.

（Ⅱ）化為，∴時，，

令，∴，

當時，，∴.

∴在上是減函數，∴即.