Question

已知函數f(x)=sin(

7π

6

-2x)+2cos2x-1(x∈R)．
（I）求函數f（x）的周期及單調遞增區間；
（II）在△ABC中，三內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知點(A，

1

2

)經過函數f（x）的圖象，b，a，c成等差數列，且

AB

•

AC

=9，求a的值．

Answer 1

分析：（I）利用三角函數的恒等變換化簡函數f（x）的解析式為sin（2x+

π

6

），由此求得周期的值，再令2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈z，求得x的范圍，即可得到函數的單調遞增區間．
（II）在△ABC中，由f（A）=sin（2A+

π

6

）=

1

2

，求得A=

π

3

．再由 b，a，c成等差數列，求得bc=18，再由余弦定理可得 a²=b²+c²-2bc•cosA 求得a的值．

解答：解：（I）∵函數f（x）=sin(

7π

6

-2x)+2cos2x-1=sin

7π

6

cos2x-cos

7π

6

sin2x+cos2x=

3

2

sin2x+

1

2

cos2x=sin（2x+

π

6

）．
故函數f（x）的周期為T=

2π

2

=π．
再令 2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈z，求得 kπ-

π

3

≤x≤kπ+

π

6

，k∈z，故單調遞增區間為[kπ-

π

3

，kπ+

π

6

]，k∈z．
（II）在△ABC中，由題意可得f（A）=sin（2A+

π

6

）=

1

2

，∴2A+

π

6

=

5π

6

，∴A=

π

3

．
再由 b，a，c成等差數列，可得2a=b+c，再由

AB

•

AC

=9 可得 bc•cosA=9，∴bc=18．
再由余弦定理可得 a²=b²+c²-2bc•cosA=（b+c）²-3bc=4a²-3×18，解得 a²=18，
∴a=3

2

．

點評：題主要考查三角函數的恒等變換及化簡求值，三角函數的周期性、單調性和求法，余弦定理以及等差數列的性質應用，屬于中檔題．