Question

【題目】如圖，在三棱柱中， ，頂點在底面 上的射影恰為點 ，且.

（1）求棱 與所成的角的大小；

（2）在棱 上確定一點，使，并求出二面角的平面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】試題分析：根據題意建立如圖所示的空間直角坐標系，（1）求出與，所在直線的向量，利用向量的夾角公式即可求出結果，再根據異面直線成角的范圍，即可求出結果；（2）平面和平面的法向量分別為m和n，即可求出二面角的平面角的余弦值．

試題解析：解（1）建立如圖所示的空間直角坐標系，

則C（0, 2, 0），B（2, 0 , 0），A1（0,－2, 2），B1（4, 0 , 2）．從而， ＝（0,－2, 2），＝（－2, 2, 0）．

記與的夾角為θ，則有．

又由異面直線AA1與BC所成角的范圍為（0，π），可得異面直線AA1與BC所成的角

為60． 4分

（2）記平面和平面的法向量分別為m和n，則由題設可令m＝（x, y, z），且有平面的法向量為n＝（0,2,0）．

設＝（－2λ, 2λ, 0），則P（4－2λ, 2λ, 2）．

于是AP＝，解得λ＝或λ＝．

又題設可知λ∈（0, 1），則λ＝舍去，故有λ＝．

從而，P為棱的中點，則坐標為P（3, 1, 2）．

由平面PAB的法向量為m，故m⊥且m⊥．

由m·＝0，即（x, y, z）·（3, 1 ,2）＝0，解得3x＋y＋2z＝0； ①

由m·＝0，即（x, y, z）·（－1,－1,－2）＝0，解得－x－y－2z＝0，②

解方程①、②可得，x＝0，y＋2z＝0，令y＝－2，z＝1，

則有m＝（0,－2, 1） ．

記平面PAB和平面ABA1所成的角為β，

則cosβ＝＝

故二面角的平面角的余弦值是．