Question

【題目】已知橢圓：的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為和，短軸的兩個(gè)端點(diǎn)分別為和，點(diǎn)在橢圓上，且滿足，當(dāng)變化時(shí)，給出下列三個(gè)命題：

①點(diǎn)的軌跡關(guān)于軸對(duì)稱；②的最小值為2；

③存在使得橢圓上滿足條件的點(diǎn)僅有兩個(gè)，

其中，所有正確命題的序號(hào)是__________．

Answer 1

【答案】①②

【解析】分析：運(yùn)用橢圓的定義可得也在橢圓上，分別畫(huà)出兩個(gè)橢圓的圖形，即可判斷①正確；由圖象可得當(dāng)的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)的絕對(duì)值相等時(shí)，的值取得最小，即可判斷②正確；通過(guò)的變化，可得③不正確.

詳解：

橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為

和，

短軸的兩個(gè)端點(diǎn)分別為和，

設(shè)，點(diǎn)在橢圓上，

且滿足，

由橢圓定義可得，，

即有在橢圓上，

對(duì)于①，將換為方程不變，

則點(diǎn)的軌跡關(guān)于軸對(duì)稱，故①正確.；

對(duì)于②，由圖象可得，當(dāng)滿足，

即有，

即時(shí)，取得最小值，

可得時(shí)，

即有取得最小值為，故②正確；

對(duì)于③，由圖象可得軌跡關(guān)于軸對(duì)稱，且，

則橢圓上滿足條件的點(diǎn)有個(gè)，

不存在使得橢圓上滿足條件的點(diǎn)有個(gè)，故③不正確.

，故答案為①②.