Question

（本小題滿(mǎn)分14分）如圖，設(shè)橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)且與雙曲線(xiàn)有相同的焦點(diǎn)，橢圓的左準(zhǔn)線(xiàn)與軸交于點(diǎn)，為橢圓的長(zhǎng)軸，分別為橢圓的左右焦點(diǎn)。（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）求證：對(duì)于任意的割線(xiàn)，恒有．

（3）求:面積的最大值．

Answer 1

(Ⅰ)    (Ⅱ) 見(jiàn)解析  （Ⅲ）

解析:

（1）∵，（…………1分）

∴，   又∵設(shè)橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)

   ∴（………3分）

   ∴， ∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（……5分）

（2）設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)方程的為，

代入橢圓方程整理得：．

，，．（………7分）

則

  ，（…9分）

而

∴，又當(dāng)直線(xiàn)的斜率為時(shí)也適合，從而．（……10分）

（3），（………………12分）

即：，

當(dāng)且僅當(dāng)，即（此時(shí)適合于的條件）取到等號(hào)．

∴面積的最大值是．（………………………14分）