Question

過雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)的右焦點F作雙曲線在第一、第三象限的漸近線的垂線l，垂足為P，l與雙曲線的左、右支的交點分別為A，B．
（1）求證：P在雙曲線的右準線上；
（2）求雙曲線離心率的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）先設出雙曲線半焦距，求得漸近線方程，則可求得過F的垂線方程，聯立方程求得焦點p的橫坐標，推斷出在右準線上
（2）根據直線l與雙曲線左右支均有交點，判斷出該雙曲線與其在第一、三象限的漸近線l₁必交于第三象限．即l₁的斜率必大于l的斜率，進而推斷出 

b

a

＞

a

b

整理后即可求得a和c的不等式關系，求得離心率的范圍．

解答：解：（1）設雙曲線半焦距為c，c＞0，有F（c，0） 
該漸近線方程為y=-

b

a

x，則過F的垂線為y=

a

b

（x-c） 
聯立方程組可解得  x=

a2

c

，即在右準線x=

a2

c

上．
（2）因為直線l與雙曲線左右支均有交點，則該雙曲線與其在第一、三象限的漸近線l₁必交于第三象限．
所以l₁的斜率必大于l的斜率，即 

b

a

＞

a

b

，即b² ＞a²，又b²=c²-a²，
所以c²＞2a²    
則離心率e=

c

a

＞

2

點評：本題主要考查了雙曲線的簡單性質．涉及了雙曲線方程中a，b和c的關系，漸近線問題，離心率問題等．