Question

（2013•許昌三模）已知f（x）=x³+ax²-a²x+2．
（Ⅰ）若a=1，求曲線y=f（x）在點（1，f（1）處的切線方程；
（Ⅱ）若a≠0 求函數f（x）的單調區間；
（Ⅲ）若不等式2xlnx≤f′（x）+a²+1恒成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求出切點坐標，斜率k，k=f′（1），用點斜式即可求出方程；
（Ⅱ）解含參的不等式：f′（x）＞0，f′（x）＜0即可；
（Ⅲ）分離出參數a后，轉化為函數的最值問題解決，注意函數定義域．

解答：解：（Ⅰ）∵a=1，∴f（x）=x³+x²-x+2，
∴f′（x）=3x²+2x-1，∴k=f′（1）=4，又f（1）=3，所有切點坐標為（1，3）．
∴所求切線方程為y-3=4（x-1），即4x-y-1=0．
（Ⅱ）f′（x）=3x²+2ax-a²=（x+a）（3x-a）由f′（x）=0，得x=-a或x=

a

3

．
（1）當a＞0時，由f′（x）＜0，得-a＜x＜

a

3

；由f′（x）＞0，得x＜-a或x＞

a

3

，
此時f（x）的單調遞減區間為（-a，

a

3

），單調遞增區間為（-∞，-a）和（

a

3

，+∞）．
（2）當a＜0時，由f′（x）＜0，得

a

3

＜x＜-a；由f′（x）＞0，得x＜

a

3

或x＞-a．
此時f（x）的單調遞減區間為（

a

3

，-a），單調遞增區間為（-∞，

a

3

）和（-a，+∞）．
綜上：當a＞0時，f（x）的單調遞減區間為（-a，

a

3

），單調遞增區間為（-∞，-a）和（

a

3

，+∞）；
當a＜0時，f（x）的單調遞減區間為（

a

3

，-a），單調遞增區間為（-∞，

a

3

）和（-a，+∞）．
（Ⅲ）依題意x∈（0，+∞），不等式2xlnx≤f′（x）+a²+1恒成立，
等價于2xlnx≤3x²+2ax+1在（0，+∞）上恒成立，可得a≥lnx-

3

2

x-

1

2x

在（0，+∞）上恒成立，
設h（x）=lnx-

3x

2

-

1

2x

，則h′（x）=

1

x

-

3

2

+

1

2x2

=-

(x-1)(3x+1)

2x2

．
令h′（x）=0，得x=1，x=-

1

3

（舍），當0＜x＜1時，h′（x）＞0；當x＞1時，h′（x）＜0，
當x變化時，h′（x），h（x）變化情況如下表：

x	（0，1）	1	（1，+∞）
h′（x）	+	0	-
h（x）	單調遞增	-2	單調遞減

∴當x=1時，h（x）取得最大值，h（x）_max=-2，∴a≥-2．
∴a的取值范圍是[-2，+∞）．

點評：本題考查了導數的幾何意義、應用導數研究函數的單調性、求函數最值問題，不等式恒成立常轉化為函數最值問題解決．