Question

如圖所示，平面∥平面，點A∈，C∈，點B∈，D∈,點E，F分別在線段AB，CD上，且AE∶EB=CF∶FD.

（1）求證：EF∥;

（2）若E，F分別是AB，CD的中點，AC=4，BD=6，且AC，BD所成的角為60°，

求EF的長.

Answer 1

（1）證明略（2）EF=或EF=

解析:

（1）  ①當AB，CD在同一平面內時，

由∥，平面∩平面ABDC=AC，

平面∩平面ABDC=BD，∴AC∥BD，                              2分

∵AE∶EB=CF∶FD，∴EF∥BD，

又EF,BD,∴EF∥.                                        4分

②當AB與CD異面時，

設平面ACD∩=DH，且DH=AC.

∵∥，∩平面ACDH=AC，

∴AC∥DH，∴四邊形ACDH是平行四邊形，                            6分

在AH上取一點G，使AG∶GH=CF∶FD，

又∵AE∶EB=CF∶FD，∴GF∥HD，EG∥BH，

又EG∩GF=G，∴平面EFG∥平面.

∵EF平面EFG，∴EF∥.綜上，EF∥.                 8分

（2）解  如圖所示，連接AD，取AD的中點M，連接ME，MF.

∵E，F分別為AB，CD的中點，

∴ME∥BD，MF∥AC，

且ME=BD=3，MF=AC=2，

∴∠EMF為AC與BD所成的角（或其補角），

∴∠EMF=60°或120°，                                            12分

∴在△EFM中由余弦定理得，

EF=

==，

即EF=或EF=.                                                   16分