Question

（2012•海淀區一模）對于集合M，定義函數fM(x)=

-1，x∈M 1，x∉M.

對于兩個集合M，N，定義集合M△N={x|f_M（x）•f_N（x）=-1}．已知A={2，4，6，8，10}，B={1，2，4，8，16}．
（Ⅰ）寫出f_A（1）和f_B（1）的值，并用列舉法寫出集合A△B；
（Ⅱ）用Card（M）表示有限集合M所含元素的個數，求Card（X△A）+Card（X△B）的最小值；
（Ⅲ）有多少個集合對（P，Q），滿足P，Q⊆A∪B，且（P△A）△（Q△B）=A△B？

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據定義直接得答案；
（Ⅱ）對于已知集合E、F，①若a∈E且a∉F，則Card（E△（F∪{a}）=Card（E△F）-1；
②若a∉E且a∉F，則Card（E△（F∪{a}）=Card（E△F）+1，據此結論找出滿足條件的集合，從而求出Card（X△A）+Card（X△B）的最小值．
（Ⅲ）由P，Q⊆A∪B，且（P△A）△（Q△B）=A△B求出集合P，Q所滿足的條件，進而確定集合對（P，Q）的個數．

解答：解：（Ⅰ）結合所給定義知，f_A（1）=1，f_B（1）=-1，A△B={1，6，10，16}．
（Ⅱ）根據題意可知：對于集合C，X，
①若a∈C且a∉X，則Card（C△（X∪{a}）=Card（C△X）-1；
②若a∉C且a∉X，則Card（C△（X∪{a}）=Card（C△X）+1．
所以 要使Card（X△A）+Card（X△B）的值最小，2，4，8一定屬于集合X；
1，6，10，16是否屬于X不影響Card（X△A）+Card（X△B）的值，但集合X不能含有A∪B之外的元素．
所以 當X為集合{1，6，10，16}的子集與集合{2，4，8}的并集時，Card（X△A）+Card（X△B）取到最小值4．
所以Card（X△A）+Card（X△B）的最小值
（Ⅲ）因為 A△B={x|f_A（x）•f_B（x）=-1}，
所以 A△B=B△A．
由定義可知：f_A△B（x）=f_A（x）•f_B（x）．
所以 對任意元素x，f_{（A△B）△C}（x）=f_A△B（x）•f_C（x）=f_A（x）•f_B（x）•f_C（x），
f_{A△（B△C）}（x）=f_A（x）•f_B△C（x）=f_A（x）•f_B（x）•f_C（x）．
所以 f_{（A△B）△C}（x）=f_{A△（B△C）}（x）．
所以 （A△B）△C=A△（B△C）．
由 （P△A）△（Q△B）=A△B知：（P△Q）△（A△B）=A△B．
所以 （P△Q）△（A△B）△（A△B）=（A△B）△（A△B）．
所以 P△Q△∅=∅．
所以 P△Q=∅，即P=Q．
因為 P，Q⊆A∪B，
所以 滿足題意的集合對（P，Q）的個數為2⁷=128．

點評：該題是一道與集合相關的信息題，難度較大，高考中很少出現．